いいのではないでしょうか?, >私は、このことは重要なことだと思います。 頭の悪い教師なら×にしますが。 ほんとは、数学なんて解ければいいんですよ。でも、今使われている数学の表記は長年の歴史で洗練されているから使いやすいのはお墨付きって事です。後、自己流の表記を導入すると論文書くときにいちいちその表記の定義を説明しなくちゃならなくて、読む方も読みづらいと思う。下手するとそこで落とされるんじゃんじゃないですかね。数学の論文は書いたことないから分からないけど。 その性質はなにか? df +dg=d(f+g) だったり、df/dy・ dy/dx =df/dx (2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方 dxの部分も2回掛かっているのでdx^2なんですが (英語) 学生時代に塾講師として勤務していた際、生徒さんから「解説を聞けば理解できるけど、なぜその解き方を思いつくのかがわからない」という声を多くいただきました。 ∇ その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。 よって、 , どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。, 数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。 数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください, 物理における微分について 参考書にdx/dtがvというふうに書いてあるのですがなぜ2vではないので, ∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合 ということにはなると思います。 は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。 微分記号“d”について質問です! a z (db x /dt)-a x (db z /dt)、a x (db y /dt)-a y (db x /dt) ) =(da /dt)xb+a x(db /dt) が得られます。 外積の微分では a=b のとき計算するまでもなく、 d(a x a )/dt=0 (何故なら、a x a =0 ) となります。 =-x^(-1)+C 2階微分はdy/dxをさらにxで微分するということです 変数分離形の微分方程式の例 9yy′ +x = 0 (1.11) y′ = dy=dxであることに注意して式を書き換えると 9ydy = xdx (1.12) とできる。この両辺を不定積分すると ∫ 9ydy = xdx , 9 2 y2 +C1 = 1 2 x2 +C2, x2 +(3y)2 = C : (1.13) ここで、両辺の積分定数をまとめてC 2(C1 +C2)とした。式(1.13)は、原点を中心とし、半径 {\displaystyle \Box }

では(∂∂)/, 題意のままですが・・・(´;ω;`)ウッ… 連立微分方程式とは、\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]のように未知数(今回は , )が連立方程式の式の数だけ与えられている微分方程式のことを表します。, の4パターンがありますが、今回は「高階微分方程式に変換する方法」についてやっていきたいと思います。, 個の式がある連立微分方程式は、変形を行うことにより 階の微分方程式に変形することができます。, (※連立微分方程式内に , に関係ない項がなければ同次の連立微分方程式となります。), 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = 2x +  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]が導出できます。, ここで、特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \\ y = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \right) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x  \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]が導出できます。, 上のように、 は行列の対角成分の和、 は行列式(サラスの公式)と考えると頭にいれやすいかと思います。, 未知変数が , の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} =  \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx}  \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx}  \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right) + by \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = 0 \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, (なお、この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy  \right)\]に代入することで の一般解を求められます。), なお、練習3では に関する2階微分方程式として解いているので、 から変形したい人はぜひご覧ください。, 非同次の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]も変形を行うことで、非同次の2階微分方程式に変形をすることができます。, 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y + e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y + 2e^{2t} \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} = 2x + \left(  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \right) + 2 e^{2t} \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2} e^{2t} \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 5 e^{2t}\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 5 e^{2t}\]が導出できます。, まずは、同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]の一般解を求めましょう。, 特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, ここで、特殊解を\[x = a e^{2t}\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = 2a e^{2t}, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 4a e^{2t}\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x\\ = \ & 4a e^{2t} - 4a e^{2t} - 3a e^{2t}\\ = \ & 5a e^{2t}\end{align*}\]となるので、 となり、特殊解の1つが\[y = - \frac{5}{3} e^{2t}\]となるので、 に関する一般解が\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t}\]と求まります。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3} e^{2t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x  - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3}  e^{2t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \right) - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3} e^{2t} \end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3}e^{2t}  \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \right) + g(t) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x - \frac{d}{b} f(t) + g(t)  \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} - f'(t) = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x - d \ f(t) + b \ g(t) \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]が導出できます。, 公式とはいっても、同次2階微分方程式の公式の右辺側の 0 が に変わるだけです。, 未知変数が , の非同次2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy +g(t) \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} =  \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right) + by + f(t) \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = g'(t) - a \ g(t) + c \ f(t) \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, (この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]に代入することで の一般解を求められます。), 同次の場合は、 から変形しても から変形しても公式自体は大きく変わらないのですが、非同次になると右辺部分がかなり変化するので気を付けましょう。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 8x+2y \\ \frac{dy}{dt} = -6x+y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 5x - 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの非同次の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = -3x+2y+2t+1 \\ \frac{dy}{dt} = -4x+3y+5t \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} = -6x + \left( \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x \right)  \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{9}{2} \frac{dx}{dt} - 10x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -9k +20 = (k-4)(k-5) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x  \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x\\ & = \frac{1}{2} \left( 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t} \right) - 4 \left( C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \right)\\ & = - 2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t}\end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \\ y = -2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t} \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = - \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} = 2x + \left( - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x \right)  \\- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} - \frac{9}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -6k + 9 = (k-3)^2 = 0\]より、 の2重解となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x  \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x\\ & = - \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t} \right) + \frac{5}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} +  C_2 t e^{3t} \end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \\ y = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} +  C_2 t e^{3t}  \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y =  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2}  \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 = -4x + 3 \left(  \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2} \right) + 5t  \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} x = 2t + \frac{1}{2}\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]となり、2階の非同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]が導出できる。, 一般解を出すためにまずは同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 0\]の一般解を求める。, ここで、特性方程式\[k^2 - 1 = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}\]と求められる。, 右辺が なので、特殊解を\[x = at + b\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = a, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 0\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - x\\ = \ & - (at + b)\\ = \ & -at - b\\ = \ & 4t - 1\end{align*}\]となるので、\[\left\{\begin{array}{l} -a = 4 \\[4px] -b = -1 \end{array}\right.

ここまで微分の概念について説明をしてきた。ここでは微分の表記方法について説明をする。あまり重要ではないと思うかもしれないが、覚えておかないと後で苦労するのでしっかり覚えてもらいたい。, 微分には様々な表記方法があるが、高校数学・高校物理でよく使われるのはラグランジュ記法、ライプニッツ記法、ニュートン記法の\(3\)つである。ちなみに記法の名前を覚える必要はない。, ライプニッツ記法は今まで記してきたように、微分をダッシュ(‘)を用いて表記する方法である。因みに、ダッシュの数は微分する回数である。つまり、\(f(x)\)を二回微分したら\(f^{\prime\prime}(x)\)、\(3\)回微分したら\(f^{\prime\prime\prime}(x)\)という感じになる。微分が\(2,3\)回くらいであれば、ダッシュを付け足せばよいが、\(10\)回とかになると面倒臭いことこのうえない。そこで、\(10\)回微分した場合は、\(f^{(10)}(x)\)という風に\(f\)の上に( )をつけて微分回数を表すこともできる。, ラグランジュ記法とは、微分を微小量を表す記号を用いて分数のような形で表す方法である。「ちょっと何言ってるか分からない」と思った人もいるだろう。順番に説明していこう。, まず、微分の定義式(1)式を見てもらいたい。この式の分母は\(x\) の微小変化量、分子は \(y\) の微小変化量を表している。\(h\)を\(0\)に近づけていくと、この微小変化量がどんどん小さくなっていく。, \(x\) の微小変化量と \(y\) の微小変化量が限りなく小さくなった時、\(x\) の微小変化量を\(h\)ではなく\(dx\)、 \(y\) の微小変化量を \(f(x+h)-f(x)\) ではなく \(dy\) と書き表すことにする。\(d\) は「極めて微小な差」を意味している。すると、微分の定義式である(1)式は, となる。この \(\frac{dy}{dx}\) という表し方をラグランジュ記法という。物理ではこの方法が最もよく使われる。ここまでの説明を理解していただけた人であれば、, と表せる。分子は\(d\)の肩に\(n\)を、分母は\(x\)の肩に\(n\)を乗せることに注意してほしい。また、上記の方法を少し変えた, 蛇足かもしれないが、\(\frac{d^n y}{dx^n}\)と\((\frac{dy}{dx})^n\)は全く別物である、ということを注意しておく。\(\frac{d^n y}{dx^n}\)は\(y\)を\(x\)で\(n\)回微分するという意味で、\((\frac{dy}{dx})^n\)は\(\frac{dy}{dx}\)を\(n\)乗するという意味である。, 例えば、\(y\)が\(t\)の関数であったとすると、yの微分は \[\frac{dy}{dt}\], これまでの説明では、\(y\) は \(x\) の関数であったが、物理では時間\(t\)の関数であることが多い、というかほとんど\(t\)の関数である。, そこでニュートンは「毎回 \(\frac{dy}{dt}\) って書くのだるくね?もっと楽な表記方法考えたろ」と(たぶん)考え、, と文字の上にドット(・)をつけて表す方法を編み出した。この記法は、慣習的に時間\(t\)で微分するときのみに用いられるので、, \(\dot{y}\) を \(\frac{dy}{dx}\) の意味で使ったり、\(y’\) を \(\frac{dy}{dt}\) の意味で使ったりするのは避けたほうがよい。, 数Ⅲで習う合成関数の微分公式を証明します。また、実際に公式をどのように使うのかも詳しく説明しています。合成関数の微分公式は最初は難しいですが、「”かたまり”微分の”なか”微分」と覚えれば、だれでも簡単に使うことができます!, sin,cos,tanの微分公式を、途中式を省略することなくていねいに説明します。数Ⅲをまだ習っていない人でも理解できるようにしています。, 中学生で習う変化の割合から微分の定義を導入し、xのn乗の微分の導出までをていねいに解説しています。数学が苦手な人や、微分を全く知らない人にでも分かりやすいように、gifを用いて視覚的にもイメージしやすくしています。, 商の微分公式を、途中式を省略することなく説明します。簡単な例題も用意しており、実際にはどのように公式を利用するのかも説明しています。. 両辺を微分すると (1)式と(2)式の間は

そして、思って試せば、その先が見えてくるのだと思います。

ϕ D− 3 1 D +2 e3x = 1 D− 3 1 5 e3x = 1 5 1 D − 3 e3x = 1 5 xe3x よって一般解は y = C1e3x +C2e−2x + x 5 e3x 類題12-8 (D2 +1)y = cosx を解きなさい. うーんこれはちょっとまずそうですね。 たとえば、(1)y=Xの2乗の導関数のy=2Xを求めるということでしょうか。これは「数式処理」に該当し、エクセルは値を扱う(四則演算が中心)ものなので、お門違いの要求です。他のソフト(ただし原理的にどんな数式・関数に対しても求まるソフトはないようですが)を探しましょう。ただアドインという形だとプログラムを組んで何でもエクセルにぶち込めるようなので、そういう例があったとしたら、話は別です。 それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、 (d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと でも、いくつかの性質は本当の数のように見えますよね。 {\displaystyle \nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi )\,} 積分の原始関数を求めるというのも似たパターンでしょう。 というわけで dt=3dx ⇒ ∫dt=∫3dx ⇒ t=3x+C

>私は、このことは重要なことだと思います。 {\displaystyle \varphi =f(x,y,z)\,} それで分数の計算の性質をすべて満たすならば、 {\displaystyle \nabla } おはようございます。今日もよろしくお願いします。

∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx y 実際これは正しい結果を与えます。 とまあ、恥ずかしげもなく書きたいこと書いていますが許してください。, >私は、このことは重要なことだと思います。 記号の意味そのものは良くわかるのですが… がえらく心に響いたので、蛇足というかナメクジに足のような回答です。 のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。 のように全く同じ形式となる。, 多変数解析やテンソル解析など、限定的な分野では個別の微分記法が必要に応じて使用される。, この記法は多変数関数の偏微分で特に有効である。例えば関数 z = f(x, y) について次のような記法ができる。, 偏微分では常微分と明確に区別するために d 記号の代わりに ∂ 記号が用いられる。例えば、関数 f(x, y, z) を y や z ではなく x についての微分を表現するために、, のような記法を使用する。ここで、最後の二つの記法はユークリッド空間においても等価であるが、他の多様体では異なる。, ミンコフスキー空間で用いられるダランベール演算子 (en) あるいは "box" 演算子 そこで、上のdf、dgと形を合わせてdf=(df/dx)dxやdf=(df/dg)dgという具合に表記すれば ) ( ψ Copyright © 2018-2020 高校数学の知識庫 All Rights Reserved. f e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。 私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。 ψ 4.4 微分で記述される物理量 一般に物理には2つ以上の変数が現れるから、登場する微分量を考えるときには常に 「どの変数による微分であるのか」 に注意を払わなければならない。 特に、時間による微分! dxの定義は何なんですか? キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^ \frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t) \]が導出できます。 公式とはいっても、同次2階微分方程式の公式の 右辺側の 0 が に変わるだけ です。 dx + ∂f ∂y!

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。 みたいに計算するのです。 のにとも思ったりします。 と表される。 ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド 数学では同じ働きをするものは同じとみなします。 また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。 それは分数と同じように扱ってもまったくかまわないわけです。

d(3x-2)=dt 本当はdxとdyはばらばらにできるのですか? (3) 全微分: すべての変数が少しずつ動くときの増加率は、次のような偏微分の線形結合で表される (Chain rule とかいうらしい) df = ∂f ∂x! A dtはtについて積分しろ! は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。 z

ϕ に対して、スカラー場 φ と ψ の積の勾配に関する積の微分公式は curly d, rounded d, curved d, partial, der dxはxについて積分しろ! ご存知の方が見えましたらお助けお願いします。。。, >エクセルを使って微分の計算をする 後者に関しては例題にて解説はしているのですが、再度ここで確認をさせていただいたこと感謝しております!気になるところがありましたらどんどんコメントいただくと幸いです。 dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。 (普通の数のようにできる)ことを示しています。 分数のように分母・分子に切り離してはいけないと教わりました。 決まりです。決めてあるだけです。嫌なら、解答の冒頭で「dtを”積分するのはtについてです”と表記する。」としても、本当は正解のはずです。



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